Am 8. Dezember 1982 wurde Egli zusammen mit dem Zürcher Freisinnigen Rudolf Friedrich in den Bundesrat gewählt. Dort übernahm er von seinem Vorgänger und CVP-Parteikollegen Hans Hürlimann das Departement des Innern. Schon vier Jahre später erklärte er als Bundespräsident 1986 seinen Rücktritt. Sein Nachfolger wurde der Tessiner Flavio Cotti.
Die Leidenschaft für die Politik wurde dem am 8. Oktober 1924 in Luzern geborenen Egli von seinem Vater in die Wiege gelegt. Dieser hatte eine Laufbahn als Regierungsrat und Ständerat eingeschlagen. Seine Mutter gehörte einem Patriziergeschlecht der Stadt an.
Obwohl er nur vier Jahre Bundesrat war, prägte der Innenminister den Umweltschutz über die Landesgrenze hinaus. Der Luzerner gilt als Kämpfer gegen das Waldsterben mit unpopulären Massnahmen. Zudem sorgte er in der Schweiz für den einheitlichen Schulbeginn.
Egli starb am 5. August 2016 im Alter von 91 Jahren. Der Ehrenbürger der Gemeinde Entlebuch war verheiratet und Vater von drei Kindern.